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Über die Beharrlichkeit von Pech (und Gut)

Anonim

Wir haben alle die Erfahrung gemacht - immer und immer wieder. Sie gehen zur Straße hinunter, um auf den Bus zu warten (Zug, U-Bahn, Boot); Sie wissen, dass Busse etwa alle 10 Minuten kommen, also erwarten Sie etwa 5 Minuten (im Durchschnitt in der Mitte des Intervalls zwischen den Bussen). In der Tat wissen wir alle, dass Sie fast immer länger warten müssen! Ist dies eine Illusion, die wir im Laufe der Jahrhunderte entwickelt haben, weil wir an die „Beharrlichkeit des Unglücks“ glauben, oder handelt es sich vielleicht um etwas Reales?

Es ist tatsächlich ein echtes Phänomen, und dieses Ergebnis kann sogar mathematisch nachgewiesen werden. Da Sie nach dem letzten Bus angekommen sind, ist Ihre Wartezeit im Durchschnitt länger als die Hälfte des durchschnittlichen Intervalls von 10 Minuten.

Ein intuitiver Weg, dies zu sehen, besteht darin, die Zeitleiste mit kurzen und langen Intervallen zu zeichnen - der Durchschnitt ist in der Tat 10 Minuten lang, aber zufällig werden einige von ihnen länger sein und andere werden kürzer als der angegebene Durchschnitt.

Ihr Auftritt an der Bushaltestelle ist ebenfalls ein zufälliges Ereignis, und dieses Ereignis wird wahrscheinlicher während einer langen Zeitspanne zwischen zwei Bussen als bei einer kurzen Busfahrt durchgeführt.

Dies ist die Wahrscheinlichkeitstheorie im Spiel: Der Moment Ihrer Ankunft an der Bushaltestelle ist wie ein Pfeil, der auf die Zeitleiste geworfen wird; Dieser Pfeil trifft während einer langen Zeit zwischen den Bussen wahrscheinlicher die Zahlenlinie als während einer kurzen Zeitspanne zwischen den Bussen (Busankunftszeiten werden durch ein "X" in der folgenden Zeitleiste angezeigt):

—-X ———— X —– X ——————— X ——— X ———— X

Wahrscheinlicheres Ankommen hier ^ als hier ^ (in der Zeile oben).

Das Inspektionsparadox

Die hier beschriebene Idee wird "Inspection Paradox" genannt und besagt: Wenn Sie einen Prozess "inspizieren", werden Sie wahrscheinlich feststellen, dass die Dinge länger dauern als ihr (nicht inspizierter) Durchschnitt.

Das Konzept scheint zu widersprechen, was "Durchschnitt" bedeutet. Aber es ist nicht so. Sie „prüfen“ nur ein Intervall zwischen den Bussen, nicht die gesamte Verteilung. Das tatsächliche Intervall, das Sie durch Hinunterfahren zur Bushaltestelle „inspizieren“, ist etwas Besonderes: Es ist eines, das mit höherer Wahrscheinlichkeit gewählt wird, je größer es ist. Daher hat die Auswahl dieses Intervalls eine Tendenz zu längeren Intervallen und damit eine längere Wartezeit als der Durchschnitt aller solcher Intervalle. Das Inspektionsparadox wurde ausführlich von Sheldon Ross von der University of California in Berkeley untersucht, der mehrere verschiedene strenge Beweise für dieses Ergebnis in der Erneuerungstheorie vorgelegt hat. *

Dieses scheinbare Paradox erscheint in vielen verschiedenen Formen des Alltags - einige von ihnen sind eher mit Glück als mit schlechtem Erfolg verbunden. Zum Beispiel hält die Batterie in Ihrer Taschenlampe im Durchschnitt länger als die "durchschnittliche" Batterie (daher das "Paradox"). Und jemand, der 60 Jahre alt ist, wird wahrscheinlich länger leben als die durchschnittliche Person. Dies liegt daran, dass diese Person bereits 60 Jahre alt ist und nicht im Alter von unter 60 Jahren sterben kann - in der gleichen Weise, wie wenn ein Bus nicht 20 Minuten vor der Bushaltestelle angekommen ist, der Abstand zwischen den beiden Bussen kann nicht kleiner als 20 Minuten sein.

Der verwirrende Fall der Langlebigkeit

Diese letzte Form des Inspektionsparadoxons wirkt sich in unerwarteter Weise auf die Schätzung der Lebensdauer aus. Die Lebenserwartung von 2013 für verschiedene Länder der Welt zeigt, dass Monaco die Nummer 1 mit einer Gesamtlebensdauer von 89, 63 Jahren ist. Andere Standorte zeigen, dass Israel auf Platz 4 der Welt steht und eine Lebenserwartung von 82 Jahren hat. Ich möchte mich auf diese beiden Länder konzentrieren, da sie einen starken verzerrenden Effekt des Inspektionsparadoxons darstellen.

Der Fall Israel scheint am rätselhaftesten zu sein. Israel ist in einer Region, in der es einige tropische Krankheiten wie das West-Nil-Virus gibt. Es leidet unter Kriegen und Terroranschlägen, die viele Opfer gefordert haben. Die Zahl der Todesfälle auf der Straße ist relativ hoch, das Rauchen ist häufiger als in den Vereinigten Staaten (deren Lebenserwartung) steht auf Platz 33 der Liste, auf der Israel die Nummer 4 ist!), und auch im Land sind stress- und stressbedingte Erkrankungen verbreitet. Warum sollte Israel in Bezug auf Langlebigkeit weltweit an vierter Stelle stehen?

Die Antwort ist das Inspektionsparadox. Israel ist ein Einwanderungsland. Zwischen 1989 und 2002 wanderten 1, 1 Millionen russische Juden nach Israel aus - mehr als 1/7 der gesamten Bevölkerung. Diese Statistik umfasst nicht die 600.000 Einwanderer aus arabischen und muslimischen Ländern, die 1972 nach Israel gelangten, sowie andere Einwanderungswellen im Laufe der Jahrzehnte. Jeder Einwanderer in ein neues Land erhöht die durchschnittliche Lebenserwartung dieses Landes aus dem oben genannten einfachen Grund, der aus der Mathematik des Inspektionsparadoxons abgeleitet ist: Wenn ein 40-jähriger Mann in ein Land einwandert, kann er keine Längerer stirbt in einem Alter von unter 40 Jahren und trägt damit letztendlich zum oberen Ende der Verteilung des Todesfalls des Adoptivlandes bei . Wenn eine 98-jährige Frau in ein anderes Land einwandert, erhebt sie sofort die Altersstatistik des Landes, da sie bereits älter ist als die meisten Menschen in diesem Land, die bereits gestorben sind. Der Beitrag eines einzelnen Einwanderers ist natürlich gering, aber wenn Millionen von Menschen in ein Land wie Israel einwandern, erhöhen sie künstlich die "Lebenserwartung" dieses Landes. Es ist ein (unbeabsichtigtes oder unkorrigiertes) Beispiel, mit Statistiken zu lügen.

Was ist mit Monaco, das auf einigen weltweiten Langlebigkeitslisten die Nummer 1 ist? Monaco ist eine Art „künstliches Land“. Als berühmtestes (oder berüchtigtes) Steuerparadies der Welt hat es die sehr Reichen angezogen, die die Staatsbürgerschaft dieses winzigen Fürstentums am Mittelmeer beanspruchen und zumindest dort „einreisen“ auf Papier. (Viele wohlhabende Europäer fordern einen Wohnsitz im Monégasque-Stil, um die Zahlung von Steuern in ihren Heimatländern zu vermeiden.) Monaco ist also, zumindest nominell, ein Einwanderungsland, und angesichts seiner geringen Bevölkerungszahl beeinflusst das Einwanderungsvolumen seine Statistiken über die Langlebigkeit möglicherweise ebenso sehr tut Israel Darüber hinaus haben die sehr wohlhabenden Monégasque Zugang zu einigen der besten Gesundheitseinrichtungen der Welt und neigen dazu, länger zu leben - was die Lebensdauerstatistiken des Fürstentums weiter erhöht.

Die Mathe des Glücks

Das Inspektionsparadox ist ein wenig bekanntes Ergebnis der Erneuerungstheorie (Teil eines Gebiets der Mathematik, das als stochastische Prozesse bezeichnet wird), das subtil viele Arten von Prozessen beeinflusst, denen wir im täglichen Leben sowie in Wirtschaft, Wissenschaft und reiner Mathematik begegnen. Mit diesem Ergebnis könnte man tatsächlich nachweisen, dass eine Suche nach Primzahlen (Gegenstand eines früheren Beitrags) effizienter wäre, wenn sie systematisch durchgeführt würde, anstatt durch zufälliges Wählen von Intervallen von Zahlen (weil dies zu "inspizierten" Intervallen führen würde) künstlich länger, da Primzahlen scheinbar zufällig zwischen den ganzen Zahlen verteilt sind).

* Weitere Einzelheiten und Anwendungen dieses wenig bekannten Satzes für stochastische Prozesse (und einen anderen Beweis) finden Sie in Sheldon Ross, Einführung in Wahrscheinlichkeitsmodelle, zehnte Ausgabe, Academic Press, 2009. Der eleganteste und einfachste Beweis ist der folgende. Wenn F ( x ) die (kontinuierliche) Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zwischenankunftszeiten ist, dann ist definitionsgemäß 1 - F ( x ) die Wahrscheinlichkeit, dass das Warten länger als x ist . Wenn Sie nun eine interarrival Zeit „inspizieren“, hat dies bereits eine Zeitspanne gedauert, s (etwa 5 Minuten seit dem letzten Bus, den Sie in dem Moment verlassen haben, als Sie an der Bushaltestelle ankamen). Wir wollen die Wahrscheinlichkeit, dass die Interarrival-Zeit für dieses bestimmte Intervall größer als x ist, da bereits bekannt ist, dass sie größer als s ist . Die Länge einer interarrival Zeit sei die Zufallsvariable X. Dann ist diese Wahrscheinlichkeit gegeben durch: P ( X > x | X > s ) = [1 - F (x)] / [1 - F (s)], das seit dem Nenner größer als 1 - F (x) ist ist weniger als 1.

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